>>663 Los libros que mencioné. Los espero negritos.

Prefacio para el estudiante Empieza explicando que el libro esta enfocado a facilitar la transición de la matemática básica a la matemática avanzada. ¿Porque desarrollar demostraciones? A menudo los matemáticos reúnen información y hacen observaciones sobre casos particulares o fenómenos, en un intento de crear un modelo o teoría que describa un patrón o relación entre cantidades y estructuras. Este método para desarrollar una teoría usa un razonamiento inductivo -razonamiento basado en conclusiones, "Todos los perros tiene cuatro patas" es un ejemplo por que lograste esa conclusión después de ver 100 perros, pero igualmente podrías encontrarte con el perro numero 101 el cual tiene solo una pata.-. Aunque los matemáticos usen el razonamiento deductivo, en el cual se usa la lógica para desarrollar una teoría por medio de conclusiones basadas en declaraciones aceptadas ampliamente. Entonces, las pruebas o demostraciones son importantes en las matemáticas ya que por medio de estas se pueden demostrar que una teoría o demostración es verdadera. En conclusión, los matemáticos usan el razonamiento deductivo, razonamiento basado en pruebas, y por medio de estas pruebas se pueden demostrar la veracidad de una teoría. ¿Por que no probar y repetir hasta confirmar una teoría? Este método de prueba es útil en asignaturas como las ciencias sociales, o naturales; pero inútil en matemáticas, ya que se tendría que probar infinitos -concepto de infinito- cantidades de cálculos para verificar una teoría. El ejemplo mas cercano es el que da el libro: “x2 − 3x + 43 es un numero primo”. Es verdadero en los primeros 10, 20 o 42 números, pero deja de ser veraz en el caso del numero: 43${}^2$ - 3(43) + 43 = 1763 1849 - 129 + 43 = 1763 1720 + 43 = 1763 1763 = 1763 El cual deja de ser primo por que se puede obtener por este calculo: 41 * 43 = 1763 1763 = 1763 ¿Por que no apoyarse en las demostraciones que alguien mas ha hecho? En las matemáticas lo que se sabe o conoce es verdadero, por medio de pruebas, hasta que haya un error en el razonamiento. El autor resalta que el objetivo del texto es examinar las técnicas de prueba estándar, centrarse en cómo comenzar con una prueba y cómo construir pruebas correctas utilizando esas técnicas. Se va a enseñar como a forma lógica de un enunciado puede servir como guía para la estructura de una prueba del enunciado. ¿Que se supone que debo saber antes de comenzar el primer capitulo? Vas a necesitar un buen entendimiento de los conceptos básicos y las notaciones mas básicas. Se listaran las definiciones mas importantes para estar preparados para entender los puntos del texto. Las definiciones en matemáticas son precisas y constantes.

Conjuntos Un conjunto es una colección de objetos, llamados elementos o miembros. Cuando el objeto x esta dentro del conjunto A, se escribe $x\in A$, de otra forma $x\notin A$. El conjunto K = {6, 7, 8, 9} tiene 4 elementos y se deduce que $7\in K$ pero $3\notin A$. La notación de construcción de conjuntos se puede escribir como. {x: x es un entero mayor a 5 y menor a 10}, el cual se lee como "El conjunto de x tal que x es...". Un conjunto el cual solo tiene un elemento, {5} no es lo mismo que el numero 5, por lo que $5\ne 5$. Un conjunto vacío, $\varnothing$ es un conjunto sin elementos. Se dice que A es un subconjunto de B (((si y solo si))) cada elemento de A es un elemento de B, y se simboliza como A $\subseteq$ B. Si el conjunto A tiene los mismos elementos que el conjunto B se dice entonces que son iguales y se escribe A = B. Para la notación de números se va a usar el sistema: $\mathbb{N}$ = {1, 2, 3, 4, …}: conjunto de números naturales. $\mathbb{Z}$ = {…, -3, -2, -1, 0 , 1, 2, 3, …}: conjunto de enteros. $\mathbb{Q}$ = Conjunto de todos los números racionales. $\mathbb{R}$ = Conjunto de todos los números reales. $\mathbb{C}$ = Conjunto de todos los números complejos. Un conjunto es finito si es vacío -ósea que no contiene ningún elemento- o si tiene n elementos para algún numero natural de n -{1, 2, 3, 4}-, de otra forma es infinito.

Números naturales Las siguientes propiedades describen la estructura de orden y aritmética básica para el conjunto de números $\mathbb{N}$: (((Propiedades sucesoras))): 1 es un numero natural. Cada numero natural x tiene un único sucesor, de tal forma que x + 1, ósea 9 es sucesor de 8 por que 8 + 1 = 9. El numero uno no es sucesor de ningún numero, ya que no tiene números anteriores. (((Propiedad de cierre))): La suma de dos números naturales da como resultado un numero natural. El producto de dos números naturales de como resultado un numero natural. (((Propiedades asociativas))): Para todo x, y, z $\in \mathbb{N}$, x + (y + z) = (x + y) + z. (5 + 11) + 17 = 16 + 17 = 33 --->>> 5 + (11 + 17) = 5 + 28 = 33 Para todo x, y, z $\in \mathbb{N}$, x(yz) = (xy)z. (5 * 11) * 17 = 55 * 17 = 935 --->>> 5 * (11 * 17) = 5 * 187 = 935 (((Propiedades conmutativas))): Para todo x, y $\in \mathbb{N}$, x + y = y + x. 17 + 11 = 11 + 17 = 28. Para todo x, y $\in \mathbb{N}$, xy = yx. 17 * 11 = 11 * 17 = 187 (((Propiedades distributivas))): Para todo x, y, z $\in \mathbb{N}$, x(y + z) = xy + xz. Para todo x, y, z $\in \mathbb{N}$, (y + z)x = yx + zx. (((Propiedad de cancelación))): Para todo x, y, z $\in \mathbb{N}$, si x + z = y + z, entonces x = y. Para todo x, y, z $\in \mathbb{N}$, si xz = yz entonces x = y. Para los numero naturales a y b, se dice que a es divisor de b, o b es múltiplo a (((si y solo si))) hay un numero k tal que b = ak, por ejemplo 7 divide a 56 por que 56 = 7*8, 56/7 = 8. Un numero natural p es primo (((si y solo si))) p es mayor a 1 y el único numero natural que es divisor de p es 1 y p. Un numero compuesto es un numero que no es ni 1 ni es primo.

Teorema fundamental de la aritmética Cada numero natural mayor que 1 es primo o puede expresarse como producto de primos. Si enumeramos los factores primos en orden creciente, entonces solo hay una factorización prima: los primos y sus exponentes están determinados de forma única. Enteros Los números enteros comparten 2 de las 6 propiedades listadas para los números naturales, excepto que no se puede cancelar z = 0 en el producto xz = yz. Otra propiedad importante es : Para todo x en $\mathbb{Z}$, x + 0 = x, x * 0 = 0 y, x + (-x) = 0. Para todo x, y, z en $\mathbb{Z}$, si (x < y) y (z > 0), xy < yz. El producto de dos positivos o dos negativos siempre es positivos, el producto de un positivo y un negativo siempre es negativo. Un numero entero es par (((si y solo si))) hay un numero entero k tal que x = 2k. Un número entero x es impar si y sólo si existe un número entero j tal que x = 2j + 1. Para números enteros a y b con a $\ne$ a 0 se dice que a divide b (((si y sólo si))) existe un número entero k tal que b = ak.

Reales y números racionales Los números reales se pueden representar como números enteros con una parte decimal finita o infinita. Se usa la notación estándar para intervalos en la recta numérica. Para los números reales a y b, tal que a < b: (a, b) = {x: x $\in \mathbb{R}$ y a < x < b} (para toda x, tal que x pertenezca a $\mathbb{R}$ y x sea mayor a a y menor a b): es el intervalo abierto de a a b. [a, b] = {x: x $\in \mathbb{R}$ y a $\le$ x $\le$ b} (para toda x, tal que x pertenezca a $\mathbb{R}$ y x sea mayor igual a a y menor igual a b): representación del conjunto cerrado de a a b. (a, ∞) = {x: x $\in \mathbb{R}$ y a < x} (Para toda x, tal que x pertenezca a $\mathbb{R}$ y x sea mayor a a): semirrecta abierta. [a, ∞) = {x: x $\in \mathbb{R}$ y a $\le$ x} (Para toda x, tal que x pertenezca a $\mathbb{R}$ y x sea mayor o igual a a): semirrecta cerrada. El símbolo infinito representa un concepto, no un numero. También se debe tener en cuenta que (1, 6) no representa {2, 3, 4, 5}, sino que ese conjunto representa todos los números reales entre 1 y 6, incluyendo números con decimales. El numero real x es racional (((si y solo si))) hay enteros p y q, con q diferente a cero, tal que x = p/q. Los racionales son los números a lo largo de la recta, que tienen expresiones decimales finitas o infinitas. Todos los demás números reales son irracionales. Todo numero x, excepto el cero tiene un numero inverso multiplicativo, tal que exista un numero y que cumpla xy = 1.

Números complejos Un numero complejo tiene la forma de a + bi, donde a y b son números reales, e i es igual a $\sqrt{-1}$. El conjugado de a + bi es a - bi y (a + bi)(a - bi) = a${}^2$ + b${}^2$. El conjunto de los reales es un subconjunto de los números complejos porque cualquier número real x puede escribirse como x + 0i. Los complejos no comparten las propiedades de orden de los reales.

Funciones Las funciones son reglas de correspondencia que asocia a cada elemento de un conjunto A un elemento único en un segundo conjunto B. Para denotar que f es una función de A a B, escribimos $f:A\to B$ y se dice "$f$ mapea A a B". Si $a\in A$, y el correspondiente elemento de B es b, se escribe $f(a)=b$. Los elementos de A son siempre llamados argumentos o entradas de la función. Si $f(a)=b$, se dice que b es la imagen de a, o b es el valor de la función en a. También se dice que a es la pre-imagen de b. Cada elemento de A debe tener una imagen, la cual debe pertenecer a B, y mas importante, no hay elemento de A con mas de una imagen. Esta propiedad de valor único hace a las funciones útiles. Si $f:A\to B$, el conjunto A es el dominio de f, denotado como $Dom(f)$, y B es el co-dominio. El conjunto rango(f) = $f(x):x\in A$ de todas las imágenes bajo la función f es llamado rango de f. El rango de una función $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ esta dado por $f(x)=x^2+1$, que es [1, ∞). A veces es conveniente describir una función por un dominio y una regla. Para funciones cuyos dominios y codominios son subconjuntos de $\mathbb{R}$, el dominio a veces no se especifica y se supone que es el subconjunto más grande posible de $\mathbb{R}$ para el cual se pueden obtener valores de imagen. Cuando se dice $f:A\to B$, es necesario que $Rng(f)\subseteq B$. Sin embargo, puede ser que algunos elementos del codominio no sean imágenes bajo la función f; es decir, el conjunto Rng(f) puede no ser igual a B. En el caso especial en el que el rango de f es igual a B, decimos que f asigna A a B. También puede ser que dos elementos diferentes de A tengan la misma imagen en B. En el caso especial en el que dos argumentos diferentes tienen valores diferentes imágenes, decimos que f es uno-a-uno.

Esta primera parte, el prefacio, no tiene mucho para practicar. Son solo conceptos necesarios para seguir con el libro. Probablemente mañana vaya a hacer un resumen sobre estos conceptos.

>>674 Mañana 18 de Octubre de 2023 voy a seguir con las proposiciones y los conectores, aparte de presentarles mi resumen. Aunque no veo mucho entusiasmo por el proyecto

>>663 OP no abandones el proyecto continua con el hilo

>>685 sigue opecito, pasa que el tablon es lento

Proposiciones y conectores El propósito de este capitulo, o parte, es entender los valores de verdad de las proposiciones y como estas se pueden combinar con los conectores lógico. Las oraciones como π > 3 o La tierra es el planeta mas cercano al Sol tiene un valor de verdad, pueden ser tanto verdaderas o falsas. Estas oraciones son las proposiciones, oraciones que se pueden calificar como verdaderas o falsas. Definición: Proposición (((Una proposición es una oración que tiene exactamente un valor de verdad: verdadera, que denotamos con T, o falsa, que denotamos con F.)))

Algunas proposiciones, como $7^2=60$ son fácilmente determinadas. Pero Algunas otras, como La ballena franca del Pacífico Norte estará extinta para 2525 toma tiempo en determinar si son verdaderas o falsas. Por ultimo están las que nunca se va a poder saber el valor de verdad, como Euclides era zurdo. Oraciones como Ella vive en Nueva York y $x^2=36$ no son proposiciones por que no se puede determinar su valor de verdad hasta que no se especifique la incógnita de cada uno, Ella en el caso de la primera oración y x en el caso de la segunda. Después están las paradojas, oraciones razonables pero que solo conducen a una contradicción. Un ejemplo claro lo da el mismo libro con la oración Esta oración es falsa. Aplicando conectores lógicos a las preposiciones se pueden formar nuevas proposiciones Definición (((La negación de una proposición P, denotado como ¬P o P, se traduce como No P y es verdadera solo cuando P es falsa.))) El valor de verdad de una proposición negada es el opuesto al de esa misma proposición no negada. +------------------+---------------------+ | P | ¬P | +------------------+---------------------+ | "El fuego quema" | "El fuego no quema" | +------------------+---------------------+

Definición (((Dadas las proposiciones P y Q))) (((La conjunción de P y Q, denotada como P∧Q es la proposición P y Q. P∧Q es verdadera cuando ambas proposiciones tanto P como Q son verdaderas.))) (((La disyunción, denotada como P∨Q es la proposición P o Q, y es verdadera cuando cualquiera de las dos lo es.))) P: El fuego quema Q: El agua es combustible Si tenemos una proposición del tipo P∨Q, esta es verdadera ya que al ser del tipo disyuntiva, solo es necesario que una parte de la proposición sea verdadera, en este caso P El fuego quema. En cambio si tenemos P∧Q la proposición es falsa, ya que necesita que las dos partes sean verdaderas. El agua no es un combustible Una proposición del tipo C∧M es simbólica, no tiene un valor de verdad hasta que no se defina cuales son las proposiciones que representa C y M. Pero estas formas si tiene una lista de valores de verdad que dependen de los valores de los componentes. Esta lista es una combinación de todos los posibles valores de verdad. La cantidad de líneas de una tabla depende de la cantidad de variables, $2^x$ sabiendo que x es la cantidad de variables. Así, si se tienen 2 variables, la cantidad columnas es $2^2=4$, si se tiene 3 variables, la cantidad de columnas es $2^3=8$, etc. Tabla de verdad del operador ∨ (O lógico) +---+---+-----+ | P | Q | P∨Q | +---+---+-----+ | V | V | V | | F | V | V | | V | F | V | | F | F | F | +---+---+-----+ Tabla de verdad del operador ∧ (Y lógico) +---+---+-----+ | P | Q | P∧Q | +---+---+-----+ | V | V | V | | F | V | F | | V | F | F | | F | F | F | +---+---+-----+

Como el valor de la preposición ¬P depende de una sola variables, su tabla es simple: Tabla de verdad del operador ¬ (Negación lógica) +---+-----+ | P | ¬P | +---+-----+ | V | F | | F | V | +---+-----+ Por ejemplo, cuando la cantidad de variables es 3, la cantidad posible de combinaciones son $2^3=8$. En este caso la forma proposicional es (P∧Q)∨¬R. Tabla de verdad para la forma (P∧Q)∨¬R +---+---+---+-----+----+-----------+ | P | Q | R | P∧Q | ¬R | (P∧Q)∨¬R | +---+---+---+-----+----+-----------+ | V | V | V | V | F | V | | F | V | V | F | F | F | | V | F | V | F | F | F | | F | F | V | F | F | F | | V | V | F | V | V | V | | F | V | F | F | V | V | | V | F | F | F | V | V | | F | F | F | F | V | V | +---+---+---+-----+----+-----------+ Para esta tabla se podría aplicar la oración "O 7 es primo y 9 es par o 11 no es menor que 3". Las sentencias serían P: 7 es primo -> es verdadero Q: 9 es par -> es falso R: 11 es menor a 3 -> es falso (P∧Q) es falso y ¬R es verdadero, viendo la tabla de verdad se sabe que la sentencia es verdadera. Algunas formas compuestas siempre dan el valor verdadero simplemente por la forma en que se forman; otros siempre son falsos. Definición: Tipos de formas proposicionales. (((Una tautología es una forma proposicional que es verdadera para toda asignación de valores de verdad a sus componentes.))) Siempre es verdadera (((Una contradicción es una forma proposicional que es falsa para toda asignación de valores de verdad a sus componentes.))) Siempre es falsa

Por ejemplo, la ley del medio excluido P ∨ (¬P) es una tautología. Ejemplo: Demostración de que (P ∨ Q) ∨ (¬P ∧ ¬Q) es una tautología. La tabla de verdad para esta proposición es: | P | Q |(PvQ)| ¬P | ¬Q |¬P∧¬Q | (P∨Q) ∨ (¬P∧¬Q) | |---|---|-----|----|-----|------|------------------| | V | V | V | F | F | F | V | | F | V | V | V | F | F | V | | V | F | V | F | V | F | V | | F | F | F | V | V | V | V | Para escribir una prueba hay que tener capacidad para conectar las declaraciones para que la verdad del enunciado derive de enunciados anteriores, con resultados conocidos o suposiciones básicas. También es necesario reconocer o escribir una afirmación que equivalga a otra, para encontrar un equivalente útil. Definición: Equivalencia de proposiciones. (((Dos formas proposicionales son equivalentes si y solo si tiene la misma tabla de verdad.))) Ejemplo: La forma proposicional P y ¬(¬P) son equivalentes. Tabla de verdad del operador ¬(¬P) | P |¬P | ¬(¬P) | |---|---|-------| | V | F | V | | F | V | F | Que P y ¬(¬P) tengan los mismo valores por cada una de las líneas significa que cualquier proposición que elija para P, el valor de verdad para P y ¬(¬P) son idénticos.

Algunas de las formas equivalentes mas usadas están en el siguiente teorema: Teorema 1.1.1: Equivalentes (((Para las preposiciones P, Q, y R, lo siguiente es equivalente:))) (a) Ley de la doble negación: $P$ y $\neg (\neg P)$ (b) Ley conmutativa: $Q\wedge P$ y $P\wedge Q$ (c) Ley conmutativa: $P\vee Q$ y $Q\vee P$ (d) Ley asociativa: $P\vee (P\vee Q)$ y $(P\vee Q)\vee R$ (e) Ley asociativa: $P\wedge (P\wedge Q)$ y $(P\wedge Q)\wedge R$ (f) Ley distributiva: $P\wedge (Q\vee R)$ y $(P\wedge Q)\vee (P\wedge R)$ (g) Ley distributiva: $P\vee (Q\wedge R)$ y $(P\vee Q)\wedge (P\vee R)$ (h) Ley de DeMorgan: $\neg (P\wedge Q)$ y $\neg P\vee \neg Q$ (i) Ley de DeMorgan: $\neg (P\vee Q)$ y $\neg P\wedge \neg Q$ Demostración: Al examinar la cuarta y séptima columna, se puede ver que es la demostración para la ley de DeMorgan, mas exactamente la equivalencia h. (A) (B) +-------+-------+-----------+----+----+---------+ | P | Q | P ∧ Q | ¬(P ∧ Q) | ¬Q | ¬P | ¬P v ¬Q | +-------+-------+-----------+----+----+---------+ | V | V | V | F | F | F | F | | F | V | F | V | V | F | V | | V | F | F | V | F | V | V | | F | F | F | V | V | V | V | +---+---+-------+-----------+----+----+---------+ Podemos ver que las tablas de $\neg (P\wedge Q)$ (A) y $\neg P\vee \neg Q$ (B) son idénticas por lo que estas dos preposiciones (A) y (B) son formas equivalentes.

(((Se pueden hacer las demostraciones de las equivalencias como ejercicios.))) También puedes darte cuenta que las dos preposiciones son equivalentes solo entendiendo su significado. En el caso del tipo de equivalencia h, la negación se aplica a una conjunción (Y lógico), por lo que la forma $\neg (P\wedge Q)$ es verdadera cuando $P\wedge Q$ es falso. Por esto $\neg (P\wedge Q)$ es equivalente a $\neg P\vee \neg Q$. Es lo mismo que decir "No tienes ni P ni Q" que "No tienes P o no tienes Q". Un ejemplo de como aplicar este es el que da el libro, en base a la oración "La función f es creciente y cóncava hacía arriba" es falsa. La forma de la preposición sería $P\wedge Q$ donde: P:La función f es creciente Q:La función f es cóncava hacía arriba La negación $\neg (P\wedge Q)$ se traduce como "La función no es creciente ni cóncava para arriba", que según la equivalencia h es lo mismo a $\neg P\vee \neg Q$, traducido como: "La función f no es creciente o la función f no es cóncava para arriba". Una simplificación es: "f no es creciente o no es cóncava para arriba" Una negación de una proposición P es equivalente a $\neg P$. Una proposición tiene solo una negación, pero tiene infinitas formas de ser negada, como $\neg \neg \neg \neg \neg P$ Las leyes de DeMorgan son un método muy útil para crear negaciones.

Las ambigüedades Una ambigüedad es la presencia de múltiples interpretaciones posibles en una declaración o enunciado, algo que tiene poca claridad. Por ejemplo Vio un hombre en un barco con un catalejo podría significar que el hombre del barco tenía un catalejo o que el hombre ha sido visto a través de un catalejo. Las ambigüedades son muy molestas en matemática y pueden llevar a resultados erróneos, por lo que hay que evitarlas. La ambigüedades se evitan usando delimitares, ósea, (paréntesis), [corchetes] y {llaves}. Para evitar una gran cantidad de delimitadores, hay excepciones: Primera excepción: $\neg$ siempre se aplica a la menor proposición que le sigue Segunda excepción: $\wedge$ siempre une las menores proposiciones que la rodean Tercera excepción: $\vee$ siempre une las menores proposiciones que la rodean Estas reglas son conocidas como Jerarquía de conectores. Por lo que $\neg P\vee Q$ es una abreviación para $(\neg P)\vee Q$, pero $\neg (P\vee Q)$ es la única forma de escribir la negación de $P\vee Q$. Cuando se usa un mismo conector varias veces, el paréntesis puede ser omitido. Por ejemplo $R\wedge P\wedge \neg P\wedge Q$ abrevia $[(R\wedge P)\wedge (\neg P)\wedge Q]$, aunque hay veces que una proposición es mucho mas fácil de leer agregando delimitadores innecesarios. ///Con esto llegamos a los primeros ejercicios, felicidades por haber llegado a este punto.\\\

Ejercicios 1.1 1/13. Usa tus conocimientos del sistema numérico para determinar si cada una es verdadera o falsa. (a) 11 es un numero racional. (b) 5π es un numero racional. (c) Hay exactamente 3 números primos entre 40 y 50. (d) Hay exactamente 5 numero primos menores a 10. (e) 29 es un numero compuesto. (f) 0 es un numero natural. (g) $(5+2i)(5-2i)$ es un numero real. (h) 18 es múltiplo 12. 2/13.¿Cuál de los siguientes son proposiciones? Da el valor de verdad de cada proposición. (a) ¿A que hora es la cena? (b) No es el caso que 5 + π no es un numero racional. (c) $x/2$ es un numero racional. (d) $2x+3y$ es un numero real. (e) O $3+\pi$ es racional, o $3-\pi$ es racional. (f) O 2 es racional y π es irracional, o 2π es racional. (g) O 5π es racional y 4.9 es racional, o 3π es racional. (h) $-\frac{1}{2}$ es racional, y o bien 3π < 10 o 3π > 15. (i) No es el caso que 39 es primo, o que 64 es una potencia de 2. (j) Hay mas de tres oraciones falsas en este libro y esta es una de ellas. 3/13.Haz la tabla de verdades para cada una de las siguientes formas proposicionales. (a) $P\wedge \neg P$ (b) $P\vee \neg P$ (c) $P\wedge \neg Q$ (d) $P\wedge (Q\vee \neg Q)$ (e) $(P\wedge Q)\vee \neg Q$ (f) $\neg (P\wedge Q)$ (g) $(P\vee \neg Q)\wedge R$ (h) $\neg P\wedge \neg Q$ (i) $P\wedge (Q\vee R)$ (j) $(P\wedge Q)\vee (P\wedge R)$ (k) $P\wedge P$ (l) $(P\wedge Q)\vee (R\wedge \neg S)$

1/13. Usa tus conocimientos del sistema numérico para determinar si cada una es verdadera o falsa. (a) 11 es un numero racional: Si, 11 es un numero racional por que puede ser representado como $11÷1$. (b) 5π es un numero racional: También es un numero natural, ya que puede representarse como $5\pi ÷1$. (c) Hay exactamente 3 números primos entre 40 y 50: Bien, están 41, 43 y 47. (d) Hay exactamente 5 numero primos menores a 10: Falso, solo son 2, 3, 5, 7. (e) 29 es un numero compuesto: 29 es un numero primo, por lo que solo es divisor entre 1 y 29. (f) 0 es un numero natural: Indefinido, si se investiga el cero, es tanto un numero natural como un entero, aunque por razones del libro vamos a decir que no es natural. (g) (5+2i)(5−2i) es un numero real: Si, es un numero real, usando la propiedad de la diferencia de cuadrados (a - b)(a + b) = $a^2-b^2$ se obtiene el resultado 29. (h) 18 es múltiplo 12: Para saber si 18 es un numero múltiplo de 12, primero hay que dividir 18 por 12. Este calculo da como resultado 1.5. Para que un numero sea múltiplo de otro, es resultado tiene que se un numero entero, por lo que la respuesta es no. Negros que quieran aprender matemática, no tengan miedo de participar, el fin es que aprendamos entre todo /htec/.

>>756 2/13.¿Cuál de los siguientes son proposiciones? Da el valor de verdad de cada proposición. (a) No es una proposición, por que no tiene un valor de verdad. (b) Es una proposición, y en este caso es verdadera. Para simplificar la proposición, la cual se denota como $\neg (\neg P)$ siendo P "5 + π es un numero racional", se puede usar la propiedad de la doble negación >>751 propiedad (a). Quedaría como P, ósea "5 + π es un numero racional" y esta proposición es falsa, ya que π es un numero irracional. (c) No es una proposición, no se puede saber el valor de verdad hasta no saber el valor de x. (d) No es una proposición, no se puede saber el valor de verdad hasta no saber el valor de x o y. (e) Es una proposición, la cual puede construirse como $P\vee Q$ siendo P "3 + π es racional" y "3 − π es racional". Aunque el valor de verdad es falso, por que pi es irracional. (f) Es una proposición, que se puede construir como $(P\wedge Q)\vee (R)$ siendo P "2 es racional", Q "π es irracional" y "2π es racional". Primero, tanto P como Q son verdaderas, por lo que el primer termino $(P\wedge Q)$ es verdadero, y al ser este verdadero y la conexión un $\vee$, el valor es verdadero. El segundo termino es falso. (g) Este caso es otra proposición, construida como $(P\wedge Q)\vee (R)$ siendo P "5π es racional", Q "4.9 es racional" y R "3π es racional". El único termino verdadero es Q, porque $4.9=49÷10$. Entonces, al ser primer y segundo termino falsos, el valor es falso. (h) Es una proposición, y se construye como $P\wedge (Q\vee R)$, siendo P "$\neg (1÷2)$ es racional", Q "3π < 10" y R "3π > 15". Tanto P como Q son verdaderas, mientras que R es falsa. La proposición "o bien 3π < 10 o 3π > 15" es una tautología según la ley del medio excluido >>748, por lo que el segundo termino es verdadero. Ahora, ya que el primer y segundo termino son verdaderos, y sabiendo que su conector es un y lógico, $\wedge$, entonces se sabe que esta proposición es verdadera. (i) Es una proposición que se construye como $\neg P\vee Q$ siendo P "39 es primo" y Q "64 es una potencia de 2". P es falsa, mientras que Q es verdadera. Al tener un conector O lógico, $\vee$, se sabe que esta proposición es verdadera. (j) Es una proposición, pero es una paradoja.

>>756 3/13.Haz la tabla de verdades para cada una de las siguientes formas proposicionales. (a) P∧¬P +--------+--------+ | P | ¬P | P ∧ ¬P | +--------+--------+ | V | F | F | | F | V | F | +---+----+--------+ (b) P∨¬P +---+----+--------+ | P | ¬P | P ∨ ¬P | +---+----+--------+ | V | F | V | | F | V | V | +---+----+--------+ (c) P∧¬Q +---+---+----+--------+ | P | Q | ¬Q | P ∧ ¬Q | +---+---+----+--------+ | V | V | F | F | | F | V | F | F | | V | F | V | V | | F | F | V | F | +---+---+----+--------+

>>756 (d) P∧(Q∨¬Q) +---+---+----+--------+---------------+ | P | Q | ¬Q | Q ∨ ¬Q | P ∧ (Q ∨ ¬Q) | +---+---+----+--------+---------------+ | V | V | F | V | V | | F | V | F | V | F | | V | F | V | V | V | | F | F | V | V | F | +---+---+----+--------+---------------+ (e) (P∧Q)∨¬Q +-------+----+--------+---------------+ | P | Q | ¬Q | P ∧ Q | (P ∧ Q) ∨ ¬Q | +-------+----+--------+---------------+ | V | V | F | V | V | | F | V | F | F | F | | V | F | V | F | V | | F | F | V | F | V | +---+---+----+--------+---------------+ (f) ¬(P∧Q) +-------+-------+-----------+ | P | Q | P ∧ Q | ¬(P ∧ Q) | +-------+-------+-----------+ | V | V | V | F | | F | V | F | V | | V | F | F | V | | F | F | F | V | +---+---+-------+-----------+

>>756 (g) (P∨¬Q)∧R +---+---+---+----+-----------+---------------+ | P | Q | R | ¬Q | (P ∨ ¬Q) | (P ∨ ¬Q) ∧ R | +---+---+---+----+-----------+---------------+ | V | V | V | F | V | V | | F | V | V | F | F | F | | V | F | V | V | V | V | | F | F | V | V | V | V | | V | V | F | F | V | F | | F | V | F | F | F | F | | V | F | F | V | V | F | | F | F | F | V | V | F | +---+---+---+----+-----------+---------------+ (h) ¬P∧¬Q +-------+----+----+----------+ | P | Q | ¬P | ¬Q | ¬P ∧ ¬Q | +-------+----+----+----------+ | V | V | F | F | F | | F | V | V | F | F | | V | F | F | V | F | | F | F | V | V | V | +---+---+----+----+----------+ (i) P∧(Q∨R) +-------+---+---------+--------------+ | P | Q | R | (Q ∨ R) | P ∧ (Q ∨ R) | +-------+---+---------+--------------+ | V | V | V | V | V | | F | V | V | V | F | | V | F | V | V | V | | F | F | V | V | F | | V | V | F | V | V | | F | V | F | V | F | | V | F | F | F | F | | F | F | F | F | F | +---+---+---+---------+--------------+

>>756 (j) (P∧Q)∨(P∧R) +-------+---+----------+----------+--------------+ | P | Q | R | (P ∧ Q) | (P ∧ R) | (P∧Q)∨(P∧R) | +-------+---+----------+----------+--------------+ | V | V | V | V | V | V | | F | V | V | F | F | F | | V | F | V | F | F | F | | F | F | V | F | F | F | | V | V | F | V | F | V | | F | V | F | F | F | F | | V | F | F | F | F | F | | F | F | F | F | F | F | +---+---+---+----------+----------+--------------+ (k) P∧P +---+-----+ | P | P∧P | +---+-----+ | V | V | | F | F | +---+-----+

>>756 (l) (P∧Q)∨(R∧¬S) +---+---+---+---+----+-----+-------+---------------+ | P | Q | R | S | ¬S | P∧Q | R∧¬S | (P∧Q)∨(R∧¬S) | +---+---+---+---+----+-----+-------+---------------+ | V | V | V | V | F | V | F | V | | F | V | V | V | F | F | F | F | | V | F | V | V | F | F | F | F | | F | F | V | V | F | F | F | F | +---+---+---+---+----+-----+-------+---------------+ | V | V | F | V | F | V | F | V | | F | V | F | V | F | F | F | F | | V | F | F | V | F | F | F | F | | F | F | F | V | F | F | F | F | +---+---+---+---+----+-----+-------+---------------+ | V | V | V | F | V | V | V | V | | F | V | V | F | V | F | V | V | | V | F | V | F | V | F | V | V | | F | F | V | F | V | F | V | V | +---+---+---+---+----+-----+-------+---------------+ | V | V | F | F | V | V | F | V | | F | V | F | F | V | F | F | F | | V | F | F | F | V | F | F | F | | F | F | F | F | V | F | F | F | +---+---+---+---+----+-----+-------+---------------+

Con esto empezamos la segunda parte de los ejercicios: 4/13. Si P, Q y R son verdaderos, mientras que S y T son falsas, ¿Cuál de los siguientes es verdadera? (a) $Q\wedge (R\wedge S)$ (b) $Q\vee (R\wedge S)$ (c) $(P\vee Q)\wedge (R\vee S)$ (d) $(\neg P\vee \neg Q)\vee (\neg R\vee \neg S)$ (e) $\neg P\vee \neg Q$ (f) $(\neg Q\vee S)\wedge (Q\vee S)$ (g) $(P\vee S)\wedge (P\vee T)$ 5/13. Usar las tablas de verdad para probar el teorema 1.1.1 >>751. 6/13. ¿Cuál de las siguientes formas proposicionales son equivalentes? (a) $P\wedge P$, $P$ (b) $P\vee P$, $P$ (c) $P\wedge Q$, $Q\wedge P$ (d) $(\neg P)\vee (\neg Q)$, $\neg (P\vee \neg Q)$ (e) $\neg P\wedge \neg Q$, $\neg (P\wedge \neg Q)$ (f) $\neg (P\wedge Q)$, $\neg P\wedge \neg Q$ (g) $(P\wedge Q)\vee R$, $P\wedge (Q\vee R)$ (h) $(P\wedge Q)\vee R$, $P\vee (Q\wedge R)$ 7/13. Determina la forma proposicional y las tablas de verdad para cada una de las siguientes. (a) No es el caso que 2 es impar. (b) $f(x)=e^x$ es creciente y cóncavo hacia arriba. (c) Tanto 7 y 5 son factores de 70. (d) Perth o la Ciudad de Panamá o Pisa se encuentran en Europa.

>>777 4/13 (a) $Q\wedge (R\wedge S)$ $VERDADERO\wedge (VERDADERO\wedge FALSO)$ $VERDADERO\wedge FALSO$ $FALSO$ (b) $Q\vee (R\wedge S)$ $VERDADERO\vee (VERDADERO\wedge FALSO)$ $VERDADERO\vee FALSO$ $VERDADERO$ (c) $(P\vee Q)\wedge (R\vee S)$ $(VERDADERO\vee VERDADERO)\wedge (VERDADERO\vee FALSO)$ $VERDADERO\wedge VERDADERO$ $VERDADERO$ (d) $(\neg P\vee \neg Q)\vee (\neg R\vee \neg S)$ $(FALSO\vee FALSO)\vee (FALSO\vee VERDADERO)$ $FALSO\vee VERDADERO$ $VERDADERO$ (e) $\neg P\vee \neg Q$ $FALSO\vee FALSO$ $FALSO$ (f) $(\neg Q\vee S)\wedge (Q\vee S)$ $(FALSO\vee FALSO)\wedge (VERDADERO\vee FALSO)$ $FALSO\wedge VERDADERO$ $FALSO$

Negros, estuve esperando a que arreglen el problema con KaTeX, pero ya pasaron cerca de 6 meses. ¿Tienen alguna sugerencia de como se podría reemplazar las tablas de verdad de KaTeX? Si no hay otra forma, podemos usar caracteres como >>772.

TUVE UNA EQUIVOCACIÓN EN EL TEOREMA 1.1.1 LA LEY ASOCIATIVA ES: $P\vee (Q\vee R)$ Y $(P\vee Q)\vee R$ $P\wedge (Q\wedge R)$ Y $(P\wedge Q)\wedge R$ 5/13. Usar las tablas de verdad para probar el teorema 1.1.1 >>751. (((Para las preposiciones P, Q, y R, lo siguiente es equivalente:))) (a) Ley de la doble negación: P y ¬(¬P) P| -P | -(-P) ---|----|--------- T | F | T F | T | F (b) Ley conmutativa: Q∧P y P∧Q | Q | P | Q & P | P & Q | |---|---|-------|-------| | T | T | T | T | | F | T | F | F | | T | F | F | F | | F | F | F | F | (c) Ley conmutativa: P∨Q y Q∨P | P | Q | P || Q | Q || P | |---|---|--------|--------| | T | T | T | T | | F | T | T | T | | T | F | T | T | | F | F | F | F | (d) Ley asociativa: P∨(Q∨R) y (P∨Q)∨R | P | Q | R | P || (Q || R) | (P || Q) || R | |---|---|---|---------------|---------------| | T | T | T | T | T | | F | T | T | T | T | | T | F | T | T | T | | F | F | T | T | T | | T | T | F | T | T | | F | T | F | T | T | | T | F | F | T | T | | F | F | F | 0 | 0 | (e) Ley asociativa: P∧(Q∧R) y (P∧Q)∧R

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| P | Q | R | P & (Q & R) | (P & Q) & R | |---|---|---|-------------|-------------| | T | T | T | T | T | | F | T | T | F | F | | T | F | T | F | F | | F | F | T | F | F | | T | T | F | F | F | | F | T | F | F | F | | T | F | F | F | F | | F | F | F | F | F | (f) Ley distributiva: P∧(Q∨R) y (P∧Q)∨(P∧R) A B -------- -------- | P | Q | R | P & (Q || R) | (P & Q) | (P & R) | A || B | |---|---|---|--------------|---------|---------|--------| | T | T | T | T | T | T | T | | F | T | T | F | F | F | F | | T | F | T | T | F | T | T | | F | F | T | F | F | F | F | | T | T | F | T | T | F | T | | F | T | F | F | F | F | F | | T | F | F | F | F | F | F | | F | F | F | F | F | F | F | (g) Ley distributiva: P∨(Q∧R) y (P∨Q)∧(P∨R) A B -------- -------- | P | Q | R | P || (Q & R) | (P || Q) | (P || R) | A & B | |---|---|---|--------------|----------|----------|-------| | T | T | T | T | T | T | T | | F | T | T | T | T | T | T | | T | F | T | T | T | T | T | | F | F | T | F | F | T | F | | T | T | F | T | T | T | T | | F | T | F | F | T | F | F | | T | F | F | T | T | T | T | | F | F | F | F | F | F | F | (h) Ley de DeMorgan: ¬(P∧Q) y ¬P∨¬Q A ----- | P | Q | P & Q | - A | - P | - Q | - P || - Q | |---|---|-------|-----|-----|-----|------------| | T | T | T | F | F | F | F | | F | T | F | T | T | F | T | | T | F | F | T | F | T | T | | F | F | F | T | T | T | T | (i) Ley de DeMorgan: ¬(P∨Q) y ¬P∧¬Q A ------ | P | Q | P || Q | - A | - P | - Q | - P & - Q | |---|---|--------|-----|-----|-----|-----------| | T | T | T | F | F | F | F | | F | T | T | F | T | F | F | | T | F | T | F | F | T | F | | F | F | F | T | T | T | T |